2024年 東京大学 理系数学レビュー：昨年より平易だが、論理的な緻密さと計算力が必要
こんにちは。品川区にある大学受験のための少人数制の学習塾「Dear Hope」副塾長の伊藤です。
今回の記事は，先日実施された国立大の入試から，東京大学の理系数学を取り上げて，所感など記していきたいと思います。
今年は，いわゆる「ひらめき」が必要な問題は見当たらず，比較的オーソドックスな出題でした。とはいえ，緻密な論証と、計算の“馬力”が求められる点はいつも通りでした。
まず，今年のセットは次の通りです。
（第１問） 所定の束縛条件を満たす動点（三角形の一つの頂点）の存在領域を図示する問題。
題意の条件を同値変形していく論理的な正確さが要求されました。答えが合っていても，途中式で減点されやすいタイプの問題です。
（第２問） 定積分で定義された関数の最大値，最小値を求める問題。
(1)で置換の誘導が与えられているので，比較的平易な問題。しかし，積分変数ｔと関数としての変数ｘとを取り違えやすいタイプでもあるため，その点に注意が必要でした。
（第３問） 所定の規則に従ってｘｙ平面上を移動する動点が，ｎ秒後に初期位置に戻る確率を求める問題。
(1)の誘導で示される対称性に基づいて，連立型の漸化式を立て，それを解いていく問題です。この漸化式は，ｎの偶奇で場合を分けて解くとタイプでした。確率を連立型の漸化式によって求める問題は，東大の理類では出題実績が複数あるため，過去問演習をしっかりと積んでいた受験生はきちんと処理できたことと思います。
また，ｎを偶奇（２で割った余り）や４で割った余りなどで場合を分けるタイプの漸化式も入試においてはよく見かけます。センター試験でも，２０１５年の数学ⅡＢでそのようなタイプの問題が出題されていますので，早めにチェックしておきましょう。
（第４問） 与えられた放物線と共通の接線をもつ円であって，定点を通過するものの個数を求める問題。
前半は，放物線と共通の接線をもつ円の中心と半径を求めさせる問題であり，これは典型的。後半は，そのような円のうち，指定された点を通過するものがいくつあるかを求めさせる問題で，最終的には４次方程式の解の個数の問題に帰着して考察する問題でした。内容としては平易でしたが，計算力が求められる一問でした。
（第５問） 空間内の三角形の板をｘ軸周りに回転させたときに，その三角形の板が通過する領域の体積を求める問題。
本問は，求積問題の分野で“ド定番”の問題です。必答の一問。
（第６問） 与えられた３次の整式が素数になる条件を考察する問題。
(1)はすべての項の係数が特定の整数の場合で，教科書の傍用問題集に掲載されている程度の問題。必答の一問。(2)は，係数に整数の文字定数（ａ，ｂ）を含むｎの３次式が与えられ，その整式が素数になるような整数ｎが高々３個であることを証明させる問題でした。
(2)は今年のセットで最も難易度が高かったと思います。
独断と偏見による難易度としては，
（易）５≦１≦２＜４≦３＜６（難）
だと思います。解答作成の手間を考えると，６(2)が少し大変ですが，それ以外はあまり大差がなく，高得点勝負だったと思われます。理科Ⅲ類以外は、第１問，第２問，第４問，第５問のうちの３題以上をしっかり得点できたかが，合否を分けるラインかなと想像しています。
余談ですが，（数学オリンピックと同様に）第３問と第６問の難易度が高めなのも例年通りでした。
以下，いくつかの問題を引用しつつ，コメントしたいと思います。
第１問
（出典：2024年度 東京大学入試問題 数学（理系）第１問）
本問は，東大にしては平易な問題ですが，同値性が崩れないように注意して式変形をしていくことが大切です。まず，以下に図を示します。
まず，P(x, y, 0) とおけて，条件(ⅰ)から (x, y) ≠ (0, 0) つまり「原点を除く」です。このような条件のチェックを怠ると減点されてしまいますので注意しましょう。
本問は，このような基本をきちんと身につけているかを確認する意味も込めて出題されたと思われます。
第３問
（出典：2024年度 東京大学入試問題 数学（理系）第３問）
確率の問題です。最初（２，１）にある点Ｐをｘ軸，ｙ軸，直線ｙ＝ｘ，直線ｙ＝－ｘの４つの直線のいずれかに関して対称移動させていく問題です。
(1)は少し実験すれば分かります。この移動によって点Ｐが存在しうる点は，（±２，±１）または（±１，±２）（複号任意）の８つに限られます。
さて，次の(2)を論理的に示せたかがどうかが，合格ラインに乗るかどうかの分かれ目ではないかと思います。１秒前（ｎ－１秒後）に点Ｐがどこにいるかに注目して示すのがよいでしょう。
(2)は，点Ｐが「ｎ秒後にＡにいる確率」と「ｎ秒後にＥにいる確率」が等しいことを証明せよ，という問いです。このことは，漸化式的に考察するとすっきり解決できますし，続く(3)への道しるべにもなります。
上の図から分かるように，「ｎ秒後にＡにいる」ためには，
・「その１秒前にＤにいて，ｙ軸に関して対称移動（確率は1/3）される」
・「その１秒前にＨにいて，ｘ軸に関して対称移動（確率は1/3）される」
・「その１秒前にＢにいて，ｙ＝ｘに関して対称移動（確率は1/6）される」
・「その１秒前にＦにいて，ｙ＝－ｘに関して対称移動（確率は1/6）される」
という４つの場合が考えられます。つまり，点Ｐがｎ秒後にＡにいる確率は，
「１秒前にＤかＨにいる確率」× (1/3) ＋ 「１秒前にＢかＦにいる確率」× (1/6)
で与えられます。
次に「ｎ秒後にＥにいる」ためには，
・「その１秒前にＤにいて，ｘ軸に関して対称移動（確率は1/3）される」
・「その１秒前にＨにいて，ｙ軸に関して対称移動（確率は1/3）される」
・「その１秒前にＢにいて，ｙ＝－ｘに関して対称移動（確率は1/6）される」
・「その１秒前にＦにいて，ｙ＝ｘに関して対称移動（確率は1/6）される」
という４つの場合が考えられます。このことから，点Ｐがｎ秒後にＥにいる確率も，
「１秒前にＤかＨにいる確率」× (1/3) ＋「１秒前にＢかＦにいる確率」× (1/6)
で与えられます。
これは上の「点Ｐがｎ秒後にＡにいる確率」と同一だから，題意は示されました。
さて，このことを他の点に当てはめると，以下の関係も成立します。
・「ｎ秒後にＰがＢにいる確率」＝「ｎ秒後にＰがＦにいる確率」
・「ｎ秒後にＰがＣにいる確率」＝「ｎ秒後にＰがＧにいる確率」
・「ｎ秒後にＰがＤにいる確率」＝「ｎ秒後にＰがＨにいる確率」
したがって，(3)では，ｎ秒後にＰがＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄにいる確率をそれぞれ「ｐｎ，ｑｎ，ｒｎ，ｓｎ」などとおいて漸化式を立てていきましょう。漸化式の立式自体は平易ですので，ここでは省略します。
なお、ｎが奇数のときは「ｐｎ＝ｑｎ＝０」，ｎが偶数のときは「ｒｎ＝ｓｎ＝０」であることは本問の設定から明らかですので，このことに気づくこともスムーズな処理のための重要ポイントです。
最後に，第６問を見ていきましょう。
第６問
（出典：2024年度 東京大学入試問題 数学（理系）第６問）
(1)は基本問題なので省略します。
(2)も，出だしは(1)の解法と同じように，ｎで因数分解して考察を進めていきます。たとえば，次のように考えることができそうです。
f(n)=n(n2+an+b) と因数分解できるから，f(n) が素数になるためには，少なくとも次の４つの条件のうちいずれかが成立していなくてはなりません（必要条件）。
a, b, n を実数の範囲に拡張し，(ⅰ)～(ⅳ)から得られる (a, b) の条件と，そのときの n の個数を調べ，あらゆる (a, b) の組合せにおいて n が高々３個しか存在しないことを示せば十分です。
以上の(ⅰ)および(ⅱ)，(ⅲ)，(ⅳ)の結果をそれぞれ図示すると，次の図１～３の通りです。図１は，(ⅰ)および(ⅱ)の結果をまとめて図示したものであり，図２は，(ⅲ)の結果を図示したものであり，図３は(ⅳ)の結果を図示したものです。図中の水色の部分は，ｎの値が高々２個の領域で，グレーの部分は，ｎの値が高々１個の領域です。
次の図４は，これら３つの図を重ね合わせたものです。紫色の部分は，水色の領域とグレーの領域が重なることによってｎの個数が高々３個となった領域です。それ以外の領域は，ｎの値が高々２個の領域です。
図４から分かるように，あらゆる実数 (a, b) の組合せに対して，実数ｎの値は高々３個であることが分かりました。このことから，当然，あらゆる整数 (a, b) の組合せに対して，整数ｎの値も，もちろん高々３個です。よって命題が示されました。
整数→実数と，条件を緩やかにしても証明ができましたが，「整数」にこだわって題意を示すことも可能です。そのあたりは各予備校の解答速報で確認していただけると思います。
まとめ
以上のように，今年の東大のセットは，最後の問題を除き，平易な問題でした。しかし，正確なロジックとスピーディーで正確な計算が求められました。
東大などの難関大に合格するためには，多くの受験生が解けるであろう問題を確実に解き切る力が大切です，ということを折に触れてお伝えしていますが，本年の東大の入試問題は，まさにそのような力を試すセットだったのではないでしょうか。
今後，東大を目指す皆さんは，ぜひ根本的な理解を大切にして学習に取り組まれると良いと思います。自分がしっかりと理解できているかどうかは，定理や解法を黒板の前に立って他人に分かりやすく説明することができるか，とイメージして自問自答すれば明らかになるでしょう。もし不安があるのであれば，ぜひいま一度教科書などで確認して，理解を深めていただきたいと思います。そのような基本に忠実な学習が，難関大で求められる「応用力」を養ってくれます。
それでは今回はこのへんで！
少人数制 大学受験専門
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