Yearly Archives

こんにちは。
学習塾DearHope　数学・物理担当の伊藤大幸です。

今回は、去る2月25～26日に実施された国公立大学の入試から、東大（理系数学）のレビューを行いたいと思います。

今年の出題のセットは以下の６問でした。

独断と偏見による難易度は、「（易）１＜３＜４＜５＜２＜６（難）」と思います。

まず第１問ですが、これは丁寧に微分等の計算を行い、増減表を作成して解答すればOKです。例年、第１問は特別な発想やスキルが求められない平易な問題が出題されていますが、今年もその例にもれず、計算ミスに気を付ければ完答しやすい問題でした。

次に、第３問について、この問題は設問文が少々長く、やや題意把握の力を試している雰囲気はありますが、要するに正方形の領域を放物線軌道でいろいろ動かすんだな、という点が把握できれば、あとは丁寧に場合分けを行って領域（実質的には長方形）の面積を計算するのみでした。

このように書くと、第１問も第３問も簡単な問題だったかのように受け取られるかもしれませんが、決してそういうわけではありません。

東大が要求している力の１つに「緻密さ」があると感じていますが、この「緻密さ」に欠けると途中で場合分けを抜かしてしまったり、計算ミスをしてしまったりと、「うっかり」間違えてしまうこともあります。

ただ場合分けするだけ、という問題でもそれを完答するには相応の力が要求されますので、日ごろから正確な議論を積み重ねて問題を解ききる訓練を積むことが必要です。

さて、第４問を見ていきましょう。

この問題は、一見簡単そうに見えるかもしれませんが、解法の選択によって所要時間に差が出るため、思わぬ時間ロスをしてしまった受験生も少なくなかったのではないかと思います。

まず問題を示します。

本問のような「任意の○○に対して…となる直線ℓが存在する」という表現は、慣れていないと意味を取り違えるおそれがあります。例えば2019年の学習院大学（文系）の第４問などを題材に、きちんと論理的な題意把握ができるように訓練を積んでおくと良いでしょう。

さて、（１）は、点Pの座標を（ａ，ｂ）、直線ℓの傾きをｍなどとおいて、「任意の（ａ，ｂ）に対してℓとＣが相異なる３点で交わるような実数ｍが存在する」ことを示せばよいわけです。主役は、「実数ｍ」です。この点を見誤ると議論が成り立ちません。

具体的には、直線ℓの方程式はｙ＝ｍ（ｘ－ａ）＋ｂですから、ｘ^３－ｘ＝ｍ（ｘ－ａ）＋ｂ…（Ａ）が任意の（ａ，ｂ）に対して異なる３つの解をもつような実数ｍが存在することを示していきます。

本問について詳細な議論は省略しますが、このことを示すためには、ｍが極端に大きい値の場合（ｍ→∞）を考える必要が生じます。

このような「極端な値」を持ち出して議論をまとめるタイプの問題は時々出題されており、例えば2020年の東京大学（理系）第１問や、2015年の京都大学（理系）第５問などが挙げられます。

（２）は、３次曲線が（極大点と極小点の中点）に関して点対称な図形であることから、直線ℓがＣの変曲点（つまり原点）を通ればよいことに気づけば、解答の道筋が見えてきます。

次に第５問です。

本問も、東大にありがちな問題なので、難易度としては標準的です。ただし、求積の原理がきちんと理解できていないと足元をすくわれてしまいます。

まず、Ｓ（ｚ軸を中心軸とする円錐面）上の点Ｐのｚ座標をｕ（題意より１≦ｕ≦２）とおくと、中点Ｍのｚ座標は「ｚ＝ｕ／２」となり積分区間が「１／２≦ｕ≦１」になります。

また、体積を求めるために必要な「断面積Ｓ（ｚ）」は、Ｋを平面ｚ＝ｕ／２で切断した面積です。体積Ｖは、この断面積Ｓ（ｚ）をｚ軸に沿って積分すればよく、

となります。

この部分を、動く文字はｕだから、と安直に考えて「ｚ＝ｕ／２」の関係を無視してしまうと、「du／２」の部分が「du」になってしまい誤答につながります。

では、難易度が高めの第２問です。

シンプルな式（漸化式）を用いて様々な考察をさせるあたり、東大らしい１問と言えます。

このような問題は、まず小さい数で実験をしてみるのがセオリーです。

まず、数列｛ａ_ｎ｝を５で割った余りの数列を｛ｒ_ｎ｝とすると（つまりａ_ｎ＝５ｋ＋ｒ_ｎ）、ｒ_ｎ＋１≡ｒ_ｎ^２＋１（mod５）という関係が成立します。これをもとに小さい数で実験してみると、次の表のようになります。

したがって、数列｛ｒ_ｎ｝は、「１，２，０」の循環であることが言えそうです。このことを数学的帰納法によって証明すればＯＫです。

続く（２）も、上の表から見えてきた数列｛ｒ_ｎ｝の循環性がヒントになります。

まず（１）から、「ａ_ｎがａ_３（＝５）の倍数になるとき、ｎ＝３ｍであり、かつこのときに限られる」（ｍ＝１，２，…）ということが言えます。

次に数列｛ａ_ｎ｝を２６（＝ａ_４）で割った余りを改めてｒ_ｎとしたときの表を以下に示します。

これより，数列｛ｒ_ｎ｝は、「１，２，５，０」の循環であることが言えそうです。つまり，「ｒ_ｎ＝０」となるのはｎ＝４ｍのとき（らしい）ので，「ａ_ｎがａ_４の倍数になるとき、ｎ＝４ｍであり、かつこのときに限られる」ということが言えそうです。

ここまでの検討結果を一般化すると、（２）で求めるべき必要十分条件は、「ｎはｋの倍数である」ということだろうと推測されます。

このことを証明しましょう、というのが本問です。

そのためには、「ａ_ｎをａ_ｋで割った余りの数列｛ｒ_ｎ｝は『ａ_１，ａ_２，…，ａ_ｋ－１，０』の循環である」ことを示せばよく、このことを数学的帰納法によって示していきます。

（３）は、（２）での循環性の考察から、ａ₈₀₉₁をａ₂₀₂₂で割った余りがａ₃（＝５）であることが分かります（8091÷2022の余りは３のため）。

すると、「（ａ₈₀₉₁）^２＝（ａ₂₀₂₂の倍数）＋25」となることから、剰余の性質（ユークリッドの互除法の原理）により、（ａ₈₀₉₁）^２とａ₂₀₂₂の最大公約数は、ａ₂₀₂₂と25の最大公約数に等しいことが分かります。

ａ₂₀₂₂が５の倍数であることは（１）から自明（なぜなら2022は３の倍数）なので、あとはａ₂₀₂₂が25の倍数か否かが次の論点になります。

このように、本問はいろいろと証明したり確認したりの作業が多いため、少々時間を要する問題だったと思います。

最後に、第６問です。 これも東大らしい良問でした。

本問で必要な力は、題意を的確に把握する力です。それ以外は、基本的な計算（重複組み合わせ）で処理できます。

今回の問題設定は、要するに、表が出たら、「右に１」または「左上に１」または「左下に１」だけ移動するということです。ただし、その移動を行うまでに出た裏の数によって、いずれの方向に移動するかが決まります（裏の数が３の倍数なら右、３で割って１余る数なら左上、２で割って２余る数なら左下）。

さて、ここでは（２）について検討してみます。

まず、Ｘ₂₀₀が原点にいるためには、表が出る回数（ｒ）は３の倍数でなければなりません。

ゆえに、ｋを整数としてｒ＝３ｋと表せます。

表がｒ（＝３ｋ）回出るならば、裏は（２００－３ｋ）回だけ出ます。

２００回の試行が終わってＸ_２００が原点にいるためには、表が出て移動を行う３ｋ回のうち、ｋ回で右に移動し、ｋ回で左上に移動し、残りｋ回で左下に移動しなければなりません。

これら「右」「左上」「左下」の各ｋ回の移動は、どのような順序であっても構いません（というより、すべての場合が数えられなければなりません）。

換言すれば、裏が「３の倍数」回出た直後に表が出る事象がｋ回、裏が「３の倍数＋１」回出た直後に表が出る事象がｋ回、そして裏が「３の倍数＋２」回出た直後に表が出る事象がｋ回、起きなければなりません。

このような事象の起こり方は、次のように考えます。

すなわち、以下のように、（２００－３ｋ）個の「裏」を１列に並べると、「表」を差し込むことのできる場所（両端と隙間の[0]～[200－3k]）が合計（２０１－３ｋ）個できます。

これらの場所のうち、[３の倍数]の数字がある場所（６７－ｋ個）に重複を許してｋ個の「表」を差し込み、同様に、[３の倍数＋１]の数字および[３の倍数＋２]の数字がある場所（いずれも６７－ｋ個）にそれぞれｋ個の「表」を差し込む、と考えます。

[0]裏[1]裏[2]裏[3]裏[4]裏……裏[199－3k]裏[200－3k]

↓

裏[表表]裏裏裏[表]裏[表]……[表表表]裏裏

ではこのような差し込み方は何通りあるでしょうか。

事象の対称性から、[３の倍数]の数字がある場所（６７－ｋ個）に重複を許してｋ個の「表」を差し込む場合の数（※）を考え、これを3乗すればよいですね。よって、（※）の場合の数を考えましょう。

重複組み合わせ、という考え方です。

まず、ｋ個のボールを（６６－ｋ）本の仕切りで（６７－ｋ）個の区画に分割します。

これら（６７－ｋ）個の区画を、左から順番に、[0]に差し込む「表」の数、[3]に差し込む「表」の数、[6]に差し込む表の数、…、[198－3ｋ]に差し込む「表」の数とします。

このように考えれば、ｋ個のボールと（６６－ｋ）本の仕切りの順列を、着目している事象に１対１に対応させることができます。

したがって、一列に並んだ６６（＝ｋ＋（６６－ｋ））か所の「空席」からボールを配置すべきｋか所を選ぶと考え（このとき仕切りが入る場所は自動的に１通りに定まり、ボールと仕切りの並びが完成する）、_６６Ｃ_ｋ（通り）となります。

したがって求める確率は、ｒが３の倍数（＝３ｋ）のとき、（_６６Ｃ_ｋ）^３×（１／２）^１００と求まりました（ｒが３の倍数でないときの確率は０です。）

本問は検討事項が多く重い問題でした。

この問題で印象に残ったことは、題意把握ができれば、あとはボールと仕切りによるシンプルな場合の数の計算でしかなかった、ということです。漸化式を立てる必要もないし、細かい場合分けも必要ありません。

だからと言って、上で見たようなボールと仕切りによる場合の数の計算手法を知っていれば本問が解けるかと言われれば、それだけでは足りない（必要条件であるが十分条件ではない）と思います。というのは、本問がそのような「ボールと仕切りの問題」であるということに「気づく」ことができなければ、どうしようもないからです。

この問題に接して、東大は「その場で考える力」を重視しているな、と改めて感じました。 パターンを暗記することも一定レベルまでは必要です。しかし、東大の入試問題の多くは、そのレベルを超えています。ある程度のパターンの蓄積はもちろんですが、合格には「その場で考える力」と、「考えた結果を適切なツールで処理する力」の双方が大切だ と思います。

東大を志望される皆さんは、この「考える力」を養えるよう、蓄積してきた知識を一層深めていっていただきたいと考えています。

それでは今回はこの辺で！

《当塾人気のレビューシリーズの一部はこちら》
2023東京大学・理系数学レビュー
難関私大 医学部の数学 テクニックの大切さ　
早稲田・慶応の2021年度入試問題（数学）レビュー「正射影ベクトル」
2021年 早稲田大学 理工学部（数学）入試問題 最新レビュー
2021年 慶應義塾大学 理工学部（数学）最新レビュー
2020年　京大大理系数学　問題の特殊性に注目しよう
2020年 東京工業大学 数学 第４問／2007年 慶應義塾大学 第３問
2019年　一橋大学 前期 数学（第3問）
2019年　高1から読める京大理系数学（第2問）

少人数制　大学受験専門
学習塾Dear Hopeへのお問い合わせ、体験授業のお申込みはこちらからお願いします。