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こんにちは。学習塾Dear Hope　数学・物理担当の伊藤です。

今年の受験シーズンも後半に入り，最新の入試問題が続々と速報されています。

そんな最新の入試から，今回は2021年慶應義塾大学の理工学部の数学のセットを取り上げてみたいと思います。

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2023東京大学・理系数学レビュー
難関私大 医学部の数学 テクニックの大切さ　
早稲田・慶応の2021年度入試問題（数学）レビュー「正射影ベクトル」
2021年 早稲田大学 理工学部（数学）入試問題 最新レビュー
2021年 慶應義塾大学 理工学部（数学）最新レビュー
2020年　京大大理系数学　問題の特殊性に注目しよう
2020年 東京工業大学 数学 第４問／2007年 慶應義塾大学 第３問
2019年　一橋大学 前期 数学（第3問）
2019年　高1から読める京大理系数学（第2問）

2021年　慶應義塾大学（理工学部）数学

今年のセットは，以下の5問でした。出題数や試験時間は例年と同じです。

どの問題も標準的な難易度であり，難しい問題も簡単な問題もありませんでした。強いて難易度を付けるとすると，簡単な問題から順に（独断と偏見で），

（易）５＜１＜２≦４＜３（難）

といったところです。以下，もう少し詳しく見ていきましょう。

第1問は，  媒介変数ｔを含む直線が通過する領域を図示し，さらにこの領域と頂点が動く放物線とが共有点をもつ条件を求める問題   でした。
直線の通過領域に関しては，逆手流やファクシミリの原理を思い浮かべる方もいるかもしれません。しかし本問では，丁寧な誘導がついていて，与えられた直線がｔによらず通過する定点と，直線の傾きの範囲を順次求めていく（分数関数のグラフを微分・図示して読み取る）構成になっていました。この誘導に従うことにより，複雑な処理を行うことなく答えにたどり着くことができます。

第2問は, 整式の割り算  です。具体的には，複素数αを解にもつ2次方程式が与えられていて，それに基づいて整式の値や，商や余りを求めていきます。問題文には「α＋１」「α＋２」「α＋３」が登場しますが，これらはいずれも極形式で表現しやすい値ですので，このことに着目しつつ剰余の定理を利用するとスムーズに処理できました。

第3問は詳しく後述します。

第4問は，よくある ハサミウチの原理を利用した極限の問題   です。前半の誘導により，被積分関数らしき関数を挟み込む式が得られます。後半では，前半の誘導で得た評価式に含まれている定数ａやｂおよびｘにどのような式を代入すれば本命の式が得られるかを的確に判断することが求められています。

本問に類似した最近の問題としては，例えば2019年の大阪大学（理系・第1問）が挙げられます。この問題も，誘導式から本命の式を得るために，誘導式中の文字をどのように置き換えていくかがポイントになります。また，同年の東京工業大学（第2問）の積分方程式の問題も，文字の置き換えの観点から参考になるでしょう。

第5問は, ｘ軸正方向とのなす角がθの直線が与えられ，この直線に座標平面上の2点（１，１），（－3，１）から垂線を下ろします。   これらの垂線の足を１：３に内分する点の軌跡を求めようという問題  です。

直線に対して垂線を下すときには，正射影ベクトルを利用することが効果的です。本問もその例にもれず，正射影ベクトルの利用に慣れた受験生にとっては容易な問題だったと思います。また，得られる軌跡は円になりますが，その計算過程も教科書傍用問題集に掲載されているような，よくあるものでした。

さて，第３問については，少し詳しく見ていきたいと思います。

まず，問題文を引用します。

（出典：2021年度　慶應義塾大学（理工）第３問）

なぜこの問題をセレクトしたかというと，最近の入試で増えつつある，   題意把握がポイントになる問題だから  です。このような「題意把握」の力を問う問題を，個人的に「国語の問題」と呼んでいます（もちろん，題意把握は問題の入り口であって，正答を導くには確率についての正確な理解と応用力が大切です！）。

本問の場合は，Ｐ（Ｂ_１）やＰ_Ｂ２（Ａ）という記号の表す確率が，「さいころを何回投げて何回目に何の目が出る場合の確率なのか」を明確にイメージできなければなりません。

（１）のＰ（Ｂ_１）は，要するに，「さいころを3回投げて，5以上の目が2回，５未満の目が1回出るが，1回目と2回目に連続して5以上の目が出ない」確率です。

つまり，さいころを1回投げて5以上の目が出る事象をＳ，5未満の目が出る事象をＴとすると，「ＴＳＳ」，「ＳＴＳ」の2通りの起こり方しかありません。分かってしまえば単純ですね。

次に，（２）のＰ_Ｂ２（Ａ）は，「さいころを最大で5回投げるうち，５未満の目がちょうど2回出るという条件のもとで， 5以上の目が2回連続して出る」確率です。

「さいころを最大で5回投げるうち，５未満の目（Ｔ）がちょうど2回出る」事象には，「ＴＴＳＳ」，「ＳＴＴＳＳ」，「ＳＴＳＴＳ」，「ＴＳＴＳＳ」の4つの場合があります。

一方，「5以上の目が2回連続して出る」事象には，「ＴＴＳＳ」，「ＳＴＴＳＳ」，「ＴＳＴＳＳ」の3つの場合があります。

ここまで来れば，あとは条件付き確率の定義に従って計算をするだけです。こちらも，意味が分かれば単純です。

（３）は，まず条件付き確率の定義から「Ｐ（Ｂ_ｋ）＝Ｐ（Ａ）」が導かれます。この式の意味は，5未満の目がちょうどｋ回出る（Ｔがｋ回）とき，「必ず」5以上の目が2回連続して出る（Ｓが2回連続して出る）ということです。この部分の解釈が重要です。

これはすなわち，Ｔをｋ個とＳを（２ｎ＋１－ｋ）個並べたとき，どう頑張ってもＳが2回連続して並んでしまうということです。このような状況は，（２ｎ＋１－ｋ）個のＳを一列に並べたときにできる（２ｎ－ｋ）個の隙間よりもＴの数（ｋ個）が少なければ成立し，

「２ｎ－ｋ＞ｋ」より，「ｋ＜ｎ」。

いまｋは非負の整数なので，「0≦ｋ≦ｎ－１」となり，「 Ｋ_ｎ＝（ｎ－1）」を得ます。

最後の（４）は，まず，ｋが０≦ｋ＜ Ｋ_ｎの範囲に限定されているため，

Ｐ（Ａ∩Ｂ_ｋ）＝Ｐ（Ｂ_ｋ）

が成立します。よって，Ｐ（ Ｂ_ｋ）を求めればよいことが分かります。

というわけで，Ｐ（ Ｂ_ｋ）を求めましょう。ここからが最後の難所です。

題意より，Ｐ（Ｂ_ｋ）＝Ｐ（Ａ）が成立することから，Ｐ（Ｂ_ｋ）（５未満の目がちょうどｋ回出る確率）に対応する事象は，まず（ｋ－１）個のＴとｒ個のＳ（ｒ＝０，１，…ｋ）が並び（但しＳは連続しない），これに「ＴＳＳ」が続いて （５未満の目の後に５以上の目が２回連続して） 終了する，という事象です。

したがって，最後の「ＴＳＳ」を除いた並びにＳがｒ個現れるとき，Ｓは，（ｋ－１）個のＴの隙間と両端との合計ｋ箇所（下図の∧）のいずれかに配置されればよく，これはｋ個の隙間（∧）からｒ個を選ぶ方法に等しいと言えます。よって，ＳとＴの並べ方は _ｋＣ _ｒ通りになります。

∧Ｔ∧Ｔ∧Ｔ∧…∧Ｔ∧Ｔ∧

したがって，このときの確率は，

により求められます。

Ｐ（Ｂ_ｋ）（＝ Ｐ_ｋ）は，この結果をｒ＝０からｋまで足し合わせればよいから，

さて，この式の∑の部分の処理がポイントになります。これは，2項定理

を利用してまとめるとことができます。つまり，上式において，ａ＝１，ｂ＝1/3とすればよいから，

となります。

最後の極限は，いわゆる（等差数列）×（等比数列）の和の問題ですので，定石どおりに処理していけばＯＫです。

なお，本問のように，二項定理を利用して和の計算を行うことにより確率を求めるタイプの問題は珍しくありません。一例として，学部は異なりますが，同じ慶応義塾大（経済・第2問）で昨年も出題されています。

慶応義塾大は，数学について言えば，理工学部より経済学部の方が問題の難易度が高い年度が多いと感じます（本年は同程度でした）。したがって，理工学部を受験する皆さんは，ぜひ経済学部の問題にも目を通しておかれることをお勧めします。もしかすると，今回のように，類似のテーマが出題されるかもしれません。

先にも述べましたが，近年の入試では、題意把握の力，つまり文章を読み解く国語力が要求されるタイプの問題が増えてきました。難関大を目指す皆さんは，典型的な問題をマスターしていくことはもちろん，長めの問題文から状況を把握し，考察すべき内容を的確に特定する訓練も積んでおきましょう。

そのためには，今回のような難関大の入試問題だけではなく，センター試験や共通テストの過去問も有効だと思います。なぜなら，センター試験等の問題は，２～３ページにわたる長い問題文に沿って様々な事象を考察していく構成になっているからです。とりわけ，確率やベクトルでは，問題の後半で最初の方に導出した結果を利用することも多くあるため，今自分がどのような状況に置かれているかをきちんとイメージしながら問題を解き進めていかないと迷子になってしまいます。ぜひ早い段階から，このような問題に取り組んでおくことをお勧めします。

それでは今回はこのへんで！

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