伊藤大幸

2023京都大学・理系数学　最新入試問題レビュー

Posted by 伊藤大幸 on 2023年3月5日

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こんにちは。
Dear Hope　副塾長の伊藤です。

先日アップした東大理系数学のレビューを多くの方にお読みいただいています。ありがとうございます！（東大レビューはこちら）

今日は、今年実施された国立大の入試から、京大の理系数学について所感など記していきたいと思います。

まず、解いてみた感想としては、「平易な問題と難しい問題とのレベル差が大きい」と思いました。出題された６問のうち４問は平易な問題だった一方、残り２問、特に最後の第６問が京大らしい整数問題で、難易度が高めでした。第５問まで解ければ確実に合格、第６問はおそらく、多くの受験者が解けず合否には影響が無い問題だったのではないかと思います。

まず、今年のセットは次の通りです。

（第１問）
2つの小問で構成されていて、問1は定積分の計算問題、問2は整式の剰余に関する問題でした。どちらも標準レベルです。

（第２問）
空間内に配置された4点をもとに定義された2直線が共有点をもつという条件の下で、特定の線分の比を求める空間ベクトルの問題。共通テストレベルの平易な問題でした。

（第３問）
1個のさいころをｎ回投げ，すべての出た目の積が5で割り切れる確率と15で割り切れる確率を求める問題。2つの集合の和集合の要素の数を数え上げることができれば容易に解決できる問題でした。

（第４問）
ある関数とその関数の逆数との和により定義された関数の最大・最小問題。置き換えにより入れ子になっている関数の値域（全体の関数の定義域）を求めるという標準的な問題でした。

（第５問）
一定の条件の下で空間内を動く線分の通過領域の体積を求める問題。京大ではありがちな設定の一問でした。本問については、あとで詳しく見ていきます。

（第６問）
cosθが1/p（ｐは3以上の素数）のとき、θがπの有理数倍になることがあるか否かを検討する整数問題。今年のセットの中で最も難易度の高い問題でした。本問についても、あとで詳しく見ていきます。

独断と偏見による難易度としては、

（易）２＜３＜１＜４＜５＜６（難）

だと思います。

京大では誘導のない出題が多いため、与えられた条件をもとに、自ら筋道を立てて結論まで議論を展開していかねばなりません。もっとも、第１問～第４問は京大にしてはどれも平易でしたので、合格を目指す受験生は落としたくない問題です。一方、第５、６問は手数が多く、何をやったらよいか分からないうちに試験時間が終わってしまった受験生も多かったのではないかと思います。

以下、問題を引用しつつ、コメントしたいと思います。

まずは第５問です。

問題文に従って線分PQを描くと、下の（図１）のようになります。

与えられた条件によると、OPとOQの長さは「和が１」を保ちながら変化しますし、（図１）に示す角θも0°から360°まで動くことができます。このように、a（OPの長さ）とθという2つの動く文字（パラメータ）が含まれていますので、これらを同時に扱うのは大変です。そんなときは、「一文字固定」ですね。具体的な処理手順は次の通りです：

（STEP1）
（図２）に示すように、θを0°に固定してしまいましょう。

このように考えてよいのは、θを0°以外の値で固定したとしても、（図１）における3点O, P, Qを含む平面を真正面から見ると、結局（図２）と同じになるからです。θを0°に固定しても一般性を失わずに議論できるということです。

（STEP2）
図２において，ａが0≦ａ≦1の範囲を動くときの線分PQの存在範囲を求めます（図３）。ただし、対称性から、点Qのｙ座標を0以上としてＯＫです。

（STEP3）
STEP2で求めた存在範囲をx軸周りに回転させ、体積を求めます。具体的には、x軸に垂直な平面でこの立体を切断したときの断面積を考え（円で、半径は図３に示すr）、これをx軸方向に沿って積分します。この体積が、求めるべき体積Vの半分になります（残り半分は、x<0の範囲の部分）。すなわち，

さて、ネックになるのは、図３に示す赤の境界線をいかにして求めるかという点です。ここでは直線の方程式をaを用いて表し，いわゆる「ファクシミリの原理」（xを固定してaを変化させたときのyの値域を考える手法）を用いて線分PQの存在範囲を求めると良いでしょう。この存在範囲が求められれば、ゴールはすぐそこです。

　次に問題６を見ていきましょう。